Mathe-Rätsel gelöst: Die letzten beiden Ziffern von 7 hoch 9999

Die Potenz 7⁹⁹⁹⁹ endet auf die Ziffern 43. Für die Lösung muss die mehr als 8000 Stellen lange Zahl nicht ausgerechnet werden.

Das Rätsel fragt nach den beiden Ziffern am Ende von 7⁹⁹⁹⁹. Bei den Potenzen der Zahl 7 wiederholt sich das Muster der letzten beiden Stellen regelmäßig. Die Folge lautet 01, 07, 49 und 43. Danach beginnt sie erneut.

Der Grund dafür liegt in den Resten bei der Division durch 100. Die letzten beiden Ziffern einer Zahl entsprechen genau diesem Rest. Bei den Potenzen von 7 ergibt sich somit eine wiederkehrende Abfolge: Auf 1 folgt 7, darauf 49 und anschließend 43.

Diese Wiederholung lässt sich auch direkt nachvollziehen. Wird eine Potenz mit 7 multipliziert, genügt es für die letzten beiden Stellen, den bisherigen Rest mit 7 zu multiplizieren. Aus 49 wird dadurch 343. Entscheidend sind nur die letzten beiden Ziffern, also 43.

Nach dem Rest 43 führt die nächste Multiplikation mit 7 zu 301. Für die letzten beiden Stellen bleibt damit 01. Anschließend folgen wieder 07 und 49. Die Abfolge hat deshalb eine Periode von vier Potenzen.

Für die gesuchte Potenz ist nun nur der Exponent entscheidend. Die Zahl 9999 lässt bei der Division durch 4 den Rest 3. In der Viererfolge entspricht das dem letzten Eintrag: Potenzen mit einem Exponenten, der beim Teilen durch 4 den Rest 3 ergibt, enden auf 43.

Damit lautet die gesuchte Antwort: 7⁹⁹⁹⁹ endet auf 43.

Der Beitrag gehört zum Angebot von SPIEGEL+ und stammt aus der Reihe „Rätsel der Woche“.